Kurtoza

Udostępnij na:

Kurtoza to miara zagęszczenia (koncentracji) wyników wokół wartości centralnej. Jedna z dwóch (obok skośności) miar kształtu rozkładu. Kurtoza w rozkładzie normalnym przyjmuje wartość „0”. Jeśli wartość tej statystyki jest większa od zera wówczas mamy do czynienia z rozkładem leptokurtycznym (wysmukłym). Jeśli kurtoza jest mniejsza od zera nasz rozkład jest rozkładem platykurtycznym (spłaszczonym). Ale co to właściwie znaczy rozkład leptokurtyczny, platykurtyczny? Jakie wnioski możemy wyciągnąć na podstawie informacji, iż rozkład danej zmiennej jest np. rozkładem leptokurtycznym?

Na początek mała powtórka wiadomości o rozkładzie normalnym. Tak jak pisaliśmy w artykule „Miary kształtu rozkładu” rozkład normalny to swoistego rodzaju wzorzec, matryca, do której „przykładamy” uzyskane wyniki zebrane podczas badania. Rozkład naszych wyników może, a właściwie to zawsze będzie odbiegać od wzorca, jakim jest rozkład normalny. Ta rozbieżność dotyczy dwóch wymiarów. Pierwszy wymiar to brak symetrii. Rozkład normalny jest idealnie symetryczny względem pionowej osi przebiegającej dokładnie w punkcie, w którym mieści się wartość średniej. Nasz rozkład pewnie tak symetryczny nie będzie. Będzie rozkładem asymetrycznym, o czym poinformuje nas taka miara kształtu rozkładu jak skośność, o której więcej możecie przeczytać w artykule zatytułowanym „Skośność”. Kiedy „przyłożymy” nasz rozkład do rozkładu normalnego zauważymy również, że rozkład normalny ma określoną wysokość „garba”.  Wszelkie odstępstwa od tego wymiaru będziemy diagnozować właśnie za pomocą takiej statystyki jak kurtoza.

W rozkładzie leptokurtycznym wartość kurtozy przyjmuje wartości dodatnie (K>0)

Czas na przykład. Standardowo już wcielamy się w rolę właściciela sieci butików z ekskluzywną odzieżą, który porównuje sprzedaż w minionym miesiącu w dwóch swoich sklepach. W pierwszym z nich na ulicy Wysmukłej sprzedano 10 sztuk odzieży w cenie: 200 zł,200 zł ,300 zł,300 zł, 300 zł, 300 zł, 300 zł, 300 zł, 400 zł, 400 zł.  Na ulicy Spłaszczonej zaś również sprzedano 10 sztuk odzieży, ale w następujących cenach: 100 zł,100 zł, 200 zł, 200zł, 300 zł, 300 zł, 400 zł, 400zł, 500 zł, 500 zł.  Średnia cena sprzedanych ubrań w obu sklepach to 300 zł. Jednakże przypatrując się uważniej wynikom dostrzeżemy, że w butiku na ulicy Wysmukłej sprzedano więcej ubrań po średniej cenie – 300 zł. W butiku na ulicy Spłaszczonej tylko dwa ubrania zostały sprzedane po 300 zł. Zauważenie tej prawidłowości  „na oko” w przypadku 10 – elementowego zbioru  jest niezwykle łatwe. Ale co w sytuacji, gdyby nasz zbiór był zbiorem 100 – elementowym (gdybyśmy zamiast 10 ubrań, sprzedali ich 100)? Tu z pomocą przychodzi właśnie taka miara kształtu rozkładu jak kurtoza. Kurtoza dostarcza nam informacji jak dużo uzyskanych przez nas wyników jest zbliżonych do średniej. Jeśli tych wyników jest sporo, a tym samym wyników skrajnych (wysokich, niskich, ubrań bardzo tanich, bardzo drogich) jest mało, to kurtoza przyjmuje wartość powyżej „0”. Wyniki są bardzo skoncentrowane wokół średniej, „garb” rozkładu jest wyższy niż w rozkładzie normalnym, rozkład jest wysmukły, czyli leptokurtyczny. Jeśli zaś kurtoza jest mniejsza od zera, to oznacza, że w naszym zbiorze dużo jest wyników skrajnych (bardzo wysokich, bardzo niskich, ubrań bardzo tanich, ale też i bardzo drogich), natomiast mało wyników zbliżonych do średniej. „Garb” rozkładu jest w tym przypadku bardziej płaski niż w rozkładzie normalnym, rozkład jest spłaszczony. Fachowo nazwiemy go rozkładem platykurtycznym. Tak więc wyliczone przez nas wartości kurtozy dla butiku na ulicy Wysmukłej i na ulicy Spłaszczonej powinny przyjąć odpowiednio wartości > 0 i < 0.

W rozkładzie platykurtycznym wartość kurtozy przyjmuje wartości ujemne (K<0)

Wiemy już czym jest, jak wygląda rozkład leptokurtyczny, platykurtyczny, ale wertując mądre podręczniki dotyczące statystyki opisowej możemy natknąć się na jeszcze jedną nazwę „rozkład mezokurtyczny”. To rozkład będący odzwierciedleniem rozkładu normalnego. Wartość kurtozy w tym przypadku wynosi „0”.

W rozkładzie mezokurtycznym wartość kurtozy przyjmuje wartość zero (K=0)

Na koniec coś dla wzrokowców – obrazek, na którym znajdują się trzy wspomniane rozkłady (lepto-, mezo- i platykurtyczny) i dobra rada dla tych wszystkich, którzy lubią zapamiętywać informację na zasadzie nietypowych skojarzeń. Rozkład leptokurtyczny to taki, który lepi się do góry, czyli ciągniemy go do sufitu i staje się wysmukły. Platykurtyczny jest zaś tak płaski, spłaszczony niczym talerz (po angielsku „plate”), z którego jemy niedzielny obiad 🙂  Takie plastyczne zobrazowanie nazw obu rozkładów przedstawił nam kiedyś doktor T. G., na wykładzie ze statystyki. Dziękujemy, zapamiętaliśmy do końca życia 🙂

Jeśli kurtoza jest mniejsza od zera to rozkład jest  platykurtyczny (spłaszczonym), jeśli wartość kurtozy jest większa od zera rozkład jest leptokurtycznym (wysmukły)

Udostępnij na:

Comments are closed.